13481. Правильный треугольник AXY
с вершинами X
и Y
на сторонах соответственно BC
и AD
прямоугольника ABCD
вырезан из этого прямоугольника. Докажите, что площадь одного из трёх оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме двух других.
Решение. Предположим, что такой правильный треугольник существует. Докажем что
S_{\triangle XYC}=S_{\triangle ABX}+S_{\triangle ADY}.
Обозначим \angle BAX=\alpha
, AX=AY=XY=c
. Тогда
\angle DAY=90^{\circ}-60^{\circ}-\angle BAX=30^{\circ}-\alpha,
\angle XCY=180^{\circ}-60^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=30^{\circ}+\alpha,
S_{\triangle ABX}=\frac{1}{2}AB\cdot BX=\frac{1}{2}c\cos\alpha\cdot c\sin\alpha=\frac{1}{4}c^{2}\sin2\alpha,
S_{\triangle ADY}=\frac{1}{2}AD\cdot DY=\frac{1}{2}c\cos(30^{\circ}-\alpha)\cdot c\sin(30^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{4}c^{2}\sin(60^{\circ}-2\alpha),
S_{\triangle XCY}=\frac{1}{2}CX\cdot CY=\frac{1}{2}c\cos(30^{\circ}+\alpha)\cdot c\sin(30^{\circ}+\alpha)=\frac{1}{4}c^{2}\sin(60^{\circ}+2\alpha),
Следовательно,
S_{\triangle ABX}+S_{\triangle ADY}=\frac{1}{4}c^{2}\sin2\alpha+\frac{1}{4}c^{2}\sin(60^{\circ}-2\alpha)=
=\frac{1}{4}c^{2}(\sin2\alpha+\sin(60^{\circ}-2\alpha))=\frac{1}{2}\sin30^{\circ}\cos(30^{\circ}-2\alpha)=
=\frac{1}{2}\sin30^{\circ}\sin(90^{\circ}-(30^{\circ}-2\alpha))=\frac{1}{4}c^{2}\sin(60^{\circ}+2\alpha)=S_{\triangle XYC}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Равносторонний треугольник может быть вписан таким способом в прямоугольник со сторонами a\leqslant b
только в случае, когда a\frac{b\sqrt{3}}{2}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 3, задача 2, с. 68
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1987