13485. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. На продолжении гипотенузы BC
за точку C
отложен отрезок CD=CB+BA
. Биссектриса угла ABC
пересекает прямую, проходящую через середины катетов AB
и AC
, в точке T
. Докажите, что \angle ACT=\angle ADC
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Пусть M
и N
— середины катетов AB
и AC
соответственно, а P
— точка пересечения прямых MN
и AD
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника, MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}
и MN\parallel BC
. Тогда по теореме Фалеса P
— середина AD
, поэтому
NP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(CB+BA)=\frac{a+c}{2}.
Поскольку BT
— биссектриса угла MAC
и MT\parallel BC
, то
\angle MBT=\angle CBT=\angle BTM,
поэтому треугольник AMT
равнобедренный, BM=MT
. Значит,
NT=MN-MT=MN-MB=\frac{a}{2}-\frac{c}{2}=\frac{a-c}{2}.
Тогда
NT\cdot NP=\frac{a-c}{2}\cdot\frac{a+c}{2}=\frac{a^{2}-c^{2}}{4}=\frac{b^{2}}{4}=\frac{b}{2}\cdot\frac{b}{2}=NA\cdot NC,
поэтому точки A
, T
, C
и P
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Вписанные в эту окружность углы ACT
и APT
опираются на одну и ту же дугу. Следовательно,
\angle ACT=\angle APT=\angle ADC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 7, задача 4419, с. 440