13488. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Высоты треугольника тоже образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что треугольник равносторонний.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника; a
, b
, c
— противолежащие им стороны, а h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— соответствующие высоты. Без ограничения общности будем считать, что \alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma
. Тогда a\leqslant b\leqslant c
и h_{c}\leqslant h_{b}\leqslant h_{a}
.
Поскольку углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, \alpha+\gamma=2\beta
, а так как
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},
то 3\beta=180^{\circ}
. Значит, \beta=60^{\circ}
.
По теореме косинусов
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos60^{\circ}=a^{2}+c^{2}-ac.
Пусть S
— площадь треугольника. Тогда
h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c},
а так как высоты треугольника образуют арифметическую прогрессию, то
\frac{2S}{a}+\frac{2S}{c}=h_{a}+h_{c}=2h_{b}=\frac{4S}{b},
откуда
\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~\Leftrightarrow~b=\frac{2ac}{a+c}.
Подставив это значение b
в равенство b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac
, получим
\frac{4a^{2}c^{2}}{(a+c)^{2}}=a^{2}+c^{2}-ac~\Leftrightarrow~4a^{2}c^{2}=(a+c)^{2}(a^{2}+c^{2}-ac).
Тогда
0=(a+c)^{2}(a^{2}+c^{2}-ac)-4a^{2}c^{2}=((a-c)^{2}+4ac)((a-c)^{2}+ac)-4a^{2}c^{2}=
=(a-c)^{4}+5ac(a-c)^{2}=(a-c)^{2}((a-c)^{2}+5ac).
Следовательно, a=c
, и a=b=c
. Что и требовалось доказать.