13489. На катетах AB
и AC
прямоугольного треугольника ABC
вне треугольника построены квадраты ABDE
и ACFG
. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
, а прямые BF
и AC
— в точке Q
. Докажите, что AP=AQ
.
Решение. Обозначим AB=AE=c
и AC=AG=b
. Треугольник CAP
подобен треугольнику CED
, поэтому
\frac{AP}{c}=\frac{AP}{DE}=\frac{CQ}{CE}=\frac{b}{b+c},
откуда AP=\frac{bc}{b+c}
.
Треугольник ABQ
подобен треугольнику GBF
, поэтому
\frac{AQ}{b}=\frac{AQ}{FG}=\frac{AB}{GB}=\frac{c}{c+b},
Следовательно,
AQ=\frac{bc}{b+c}=AP.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 6, задача 1537 (110), с. 183