1349. Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD
нет параллельных сторон. Обозначим через E
и F
точки пересечения прямых AB
и DC
, BC
и AD
соответственно (точка A
лежит на отрезке BE
, а точка C
— на отрезке BF
). Докажите, что четырёхугольник ABCD
является описанным тогда и только тогда, когда ED+BF=DF+BE
.
Указание. Докажите, что биссектрисы углов BEC
, BFA
и ABC
пересекаются в одной точке.
Решение. Необходимость. Дано: ABCD
— описанный четырёхугольник (рис. 1). Пусть касательные к вписанной окружности из точек A
, B
, C
, D
, E
и F
равны соответственно a
, b
, c
, d
, e
и f
. Тогда
ED=e-d,~BF=b+f,~DF=f-d,~BE=b+e.
Значит,
ED+BF=e-d+b+f,~DF+BE=f-d+b+e.
Следовательно, ED+BF=DF+BE
.
Достаточность. Пусть выполняется равенство ED+BF=DF+BE
. Тогда BF-DF=BE-ED
. Докажем, что биссектрисы углов BEC
, BFA
и ABC
пересекаются в одной точке (рис. 2). Отсюда будет следовать, что ABCD
— описанный четырёхугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от AB
и CD
, BC
и AD
, а также от AB
и BC
.)
Возьмём на луче EA
такую точку T
, что ET=ED
, а на луче FC
— такую точку S
, что FS=FD
. Поскольку
BT=BE-ET=BE-ED,~BS=BF-SF=BF-DF,
то из условия следует, что BT=BS
. Рассмотрим треугольник TDS
. Серединный перпендикуляр к стороне TD
этого треугольника является биссектрисой угла TED
(или угла BEC
). Это следует из равнобедренности треугольника TED
. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне SD
есть биссектриса угла SFD
(или угла BFA
), а серединный перпендикуляр к стороне ST
— биссектриса угла TBS
(или угла ABC
). Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника TDS
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — с. 143
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.9, с. 152