13490. Внутри параллелограмма ABCD
взята точка P
. Известно, что \angle ABP=2\angle ADP
и \angle DCP=2\angle DAP
. Докажите, что AB=PB=PC
.
Решение. Обозначим \angle ADP=\alpha
и \angle DAP=\beta
. Тогда \angle ABP=2\alpha
и \angle DCP=2\beta
.
С началом в точке P
параллельно AB
проведём луч, пересекающий сторону AD
, и отложим на нём отрезок PO=AB=CD
. Тогда ABPO
и DCPO
— параллелограммы, поэтому
\angle AOP=\angle ABP=2\alpha,~\angle DOP=\angle DCP=2\beta.
На продолжении отрезка PO
за точку O
отложим отрезок OQ=OA
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника получим, что углы при основании AQ
равнобедренного треугольника AOQ
равны половине угла AOP
, т. е. \alpha
. Из точек Q
и D
, лежащих по одну сторону от прямой AP
, отрезок AP
виден под одним те тем же углом, равным \alpha
, поэтому точки A
, P
, D
и Q
лежат на одной окружности, а так как
\angle DQP=\angle DAP=\beta,~\angle ODQ=\angle DOP-\angle DQP=2\beta-\beta=\beta,
то треугольник DOQ
равнобедренный, значит, OD=OQ=OA
. Таким образом, O
— центр этой окружности, поэтому
AB=OP=OA=PB,~PC=OD=OA.
Следовательно, AB=PB=PC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 7, задача 1547 (144), с. 219