13493. Точка O
— центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
. Вершины P
, Q
, R
, S
ромба лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
, DA
трапеции. Докажите, что точки Q
, S
и O
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть M
и N
— середины боковых сторон соответственно AB
и CD
трапеции. По теореме Фалеса средняя линия MN
трапеции проходит через середину X
диагонали QS
ромба PQRS
, т. е. через его центр.
Пусть прямая, проведённая через точку R
пересекает сторону AB
в точке T
, а прямая, проведённая через точку R
параллельно AB
, пересекает MN
в точке E
. Тогда ERTM
— параллелограмм, а треугольники MXP
и EXR
равны по стороне (PX=RX
) и двум прилежащим к ней углам. Значит, MP=ER=MT
, т. е. M
— середина отрезка PT
. Следовательно, RN=MT=MP
, так как MTRN
— равнобедренная трапеция.
Поскольку O
— центр окружности, описанной около трапеции ABCD
, то OM
и ON
— серединные перпендикуляры к сторонам AB
и CD
соответственно. При этом OM=ON
как перпендикуляры, опущенные из центра окружности на равные хорды AB
и CD
. Значит, прямоугольные треугольники OMP
и ONR
равны по двум катетам, поэтому равны их гипотенузы OP
и OR
, т. е. точка O
, как и точки Q
и S
, равноудалена от концов отрезка PR
. Следовательно, Q
, S
и O
лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку PR
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 8, задача 1555 (172), с. 245