13497. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
имеют общую хорду PQ
. Через переменную точку A
окружности \Gamma_{1}
проведены прямые AP
и AQ
, вторично пересекающие окружность \Gamma_{2}
в точках B
и C
соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на некоторой фиксированной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка A
лежит вне окружности \Gamma_{2}
). Пусть O_{2}
— центр окружности \Gamma_{2}
, N
— середина отрезка BC
, а M
— центр описанной окружности \Omega
треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, угол BMN
— половина центрального угла BMC
окружности \Omega
, а так как BAC
— соответствующий угол, вписанный в эту окружность, то \angle BMN=\alpha
. Тогда
MN=BN\ctg\angle BMN=\frac{1}{2}BC\ctg\alpha.
При этом \alpha
не зависит от положения точки A
на рассматриваемой дуге PQ
окружности \Gamma_{1}
, а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\alpha=\angle BAC=\angle BQC-\angle ABQ=\angle BQC-\angle PBQ,
причём угол PBQ
(как и \alpha
) не зависит от положения точки A
, то и угол BQC
, а значит, и длина хорды BC
, не зависит от положения точки A
на указанной дуге окружности \Gamma_{1}
. Аналогично, длина отрезка O_{2}N
тоже не зависит от положения точки A
.
Значит, длины отрезков MN
и O_{2}N
фиксированы, а так как O_{2}M=MN-O_{2}N
, то отрезок O_{2}M
имеет фиксированную длину. Следовательно, при любом положении точки A
на указанной дуге окружности \Gamma_{1}
центр M
окружности \Omega
удалён от фиксированной точки O_{2}
на одно и то же расстояние, т. е. лежит на окружности с центром O_{2}
и радиусом MN-O_{2}N
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев.