13499. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, точки P
и Q
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём BP:PQ:QC=AC:CB:BA
. Докажите, что точки A
, P
, Q
и O
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам CB
, AC
и BA
соответственно. Без ограничения общности будем считать, что \beta\gt\gamma
.
От луча PQ
в полуплоскость, содержащую точку A
, отложим луч под углом \gamma
к лучу PQ
. От луча QP
в полуплоскость, содержащую точку A
, отложим луч под углом \beta
к лучу QP
. Пусть отложенные лучи пересекаются в точке D
. Тогда треугольник DPQ
подобен треугольнику ACB
, поэтому
DP:PQ:QD=AC:CB:BA=BP:PQ:QC.
Тогда DP=BP
и QD=QC
, т. е. треугольники BPD
и CQD
равнобедренные.
Обозначим \angle PBD=\angle PDB=\varphi
и \angle QCD=\angle QDC=\psi
. Тогда
\angle BPD=180^{\circ}-2\varphi,~\angle CQD=180^{\circ}-2\psi.
Сумма углов четырёхугольника BCDP
равна 360^{\circ}
, т. е.
360^{\circ}=\angle PBC+\angle BCD+\angle CDP+\angle DPB=
=\beta+(\gamma+\psi)+(\psi+\alpha)+(180^{\circ}-2\varphi)=
=\beta+\gamma+\alpha+2\psi+180^{\circ}-2\varphi=
=180^{\circ}+2\psi+180^{\circ}-2\varphi=360^{\circ}+2(\psi-\varphi),
откуда получаем \psi=\varphi
. Тогда
\angle CDP=\angle QDP-\varphi+\psi=\angle QDP=\alpha=\angle BAC=\angle PAQ.
Значит, точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
и на описанной окружности треугольника PAQ
.
Поскольку OP
и OQ
— серединные перпендикуляры к отрезкам CD
и BD
, то
\angle POQ=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle PAQ.
Значит, на этой окружности лежит и точка O
. Отсюда следует утверждение задачи.