13500. Докажите, что
\sin\beta\sin\gamma\leqslant1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}},
где a
, b
и c
— стороны треугольника, а \beta
и \gamma
— углы, противолежащие сторонам b
и c
соответственно.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности данного треугольника, S
— площадь треугольника. Тогда
\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R},
R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}.
Значит,
\sin\beta\sin\gamma\leqslant1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{b}{2R}\cdot\frac{c}{2R}\leqslant\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{bc}{4R^{2}}\leqslant\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~R^{2}\geqslant\frac{bc(b+c)^{2}}{4(b+c-a)(b+c+a)}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\geqslant\frac{bc(b+c)^{2}}{4(b+c-a)(b+c+a)}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}bc}{(a+c-b)(a+b-c)}\geqslant\frac{(b+c)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~4a^{2}bc\geqslant(b+c)^{2}(a^{2}-(b-c)^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~4a^{2}bc\geqslant(b+c)^{2}a^{2}-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\geqslant a^{2}((b+c)^{2}-4bc)-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\geqslant a^{2}(b-c)^{2}-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~0\geqslant(b-c)^{2}(a^{2}-(b+c)^{2}).
Последнее неравенство верно, так как a\lt b+c
(неравенство треугольника). Отсюда следует неравенство из условия задачи.