13505. Треугольники ADB
и AEC
, расположенные вне треугольника ABC
, — равнобедренные и прямоугольные с прямыми углами при вершинах D
и E
соответственно. Точка F
— середина стороны BC
. Докажите, что треугольник DFE
— равнобедренный и прямоугольный.
Решение. Отметим середины G
и H
сторон AB
и AC
соответственно. Тогда AGFH
— параллелограмм, а DG
и EH
— медианы прямоугольных треугольников ADB
и AEC
, проведённые из вершин прямых углов. Значит,
DG=\frac{1}{2}AB=AG=HF,~GF=AH=\frac{1}{2}AC=HE.
Кроме того,
\angle DGF=90^{\circ}+\angle BGF=90^{\circ}+\angle FHC=\angle FHE,
поэтому треугольники DGF
и FHE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, DF=FE
.
Соответствующие стороны DG
и HF
этих треугольников перпендикулярны. Также перпендикулярны соответствующие стороны GF
и HE
, а так как треугольники равны, то перпендикулярны их соответствующие стороны DF
и FE
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 2, задача 1605 (148), с. 55