13506. Докажите, что в любом треугольнике радиус каждой вневписанной окружности меньше учетверённого радиуса описанной окружности.
Решение. Пусть I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
касающейся стороны BC=a
в точке H
и продолжений сторон AB
и AC
, r_{a}
— её радиус; \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, противолежащие сторонам BC
, AC
и AB
соответственно; O
— центр описанной окружности треугольника, R
— её радиус.
Тогда
a=BH+CH=I_{a}H\ctg\angle OBH+I_{a}H\ctg\angle OCH=
=r_{a}\ctg\frac{180^{\circ}-\beta}{2}+r_{a}\ctg\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=r_{a}\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right),
R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{a}{2\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)}=\frac{a}{2\sin(\beta+\gamma)}.
Значит,
r_{a}\lt4R~\Leftrightarrow~\frac{a}{\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}}\lt\frac{4a}{2\sin(\beta+\gamma)}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\sin(\beta+\gamma)\lt\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\lt\frac{\sin\frac{\beta+\gamma}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}~\Leftrightarrow~\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\lt1.
Последнее неравенство верно, так как каждый сомножитель левой части меньше 1.