13518. На катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки C
и D
соответственно. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки C
на прямые DE
, EA
, AB
и BD
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle CED=\alpha
, \angle CBD=\beta
и \angle DEA=\gamma
. Пусть P
, Q
, R
, S
— основания перпендикуляров, опущенных из точки C
на прямые AB
, AE
, ED
и BD
соответственно. Отрезки AC
, BC
, CD
и CE
— диаметры окружностей, описанных около четырёхугольников CQPA
, BPSC
, CRSD
и CRQE
соответственно. Тогда из четырёхугольника CQPA
получаем
\angle CQP=180^{\circ}-\angle A,
\angle AQP=\angle ACP=90^{\circ}-\angle A=\angle B,~\angle QPA=180^{\circ}-\angle QCA,
\angle QPC=\angle QAC=90^{\circ}-\angle QCA=90^{\circ}-(\alpha+\gamma)
(\angle QCA=\angle CEA
, так как оба эти угла равны углу EAC
).
Из четырёхугольника BPSC
—
\angle BPS=180^{\circ}-\angle BCS,
\angle CPS=90^{\circ}-\angle APS=90^{\circ}-\angle BCS=\beta,
\angle PSC=180^{\circ}-\angle B,~\angle PSB=\angle PCB=90^{\circ}-\angle B=\angle A.
Из четырёхугольника CRSD
—
\angle RSD=180^{\circ}-\angle RCD=180^{\circ}-\alpha,
\angle RSC=\angle RDC=90^{\circ}-\alpha,
\angle CRS=90^{\circ}+\angle DRS=90^{\circ}+\beta,~\angle DRS=\beta.
Из четырёхугольника CRQE
—
\angle CRQ=180^{\circ}-(\alpha+\gamma),~\angle ERQ=\angle ECQ=90^{\circ}-(\alpha+\gamma).
Значит,
\angle QRS=180^{\circ}-(\angle ERQ+\angle DRS)=
=180^{\circ}-(90^{\circ}-(\alpha+\gamma)+\beta)=
=90^{\circ}+\alpha+\gamma-\beta
и
\angle QPS=\angle QPC+\angle CPS=90^{\circ}-(\alpha+\gamma)+\beta=180^{\circ}-\angle QRS.
Следовательно, четырёхугольник PQRS
вписанный. Что и требовалось.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 8, задача 3, с. 231