13520. Отрезок AA'
— диаметр окружности C
радиуса r
. Две равных окружности C_{1}
и C_{2}
радиуса a
(a\lt r
) с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно касаются внутренним образом окружности C
в точках A
и A'
соответственно. Внутри одной из полуокружностей окружности C
расположены две касающиеся внешним образом окружности C_{3}
и C_{4}
радиусов b
и c
с центрами O_{3}
и O_{4}
соответственно, которые касаются внутренним образом окружности C
и внешним — окружностей C_{1}
и C_{2}
соответственно. Докажите, что:
а) r=a+b+c
;
б) O_{3}O_{4}\parallel AA'
.
Решение. Исходим из того, что существует единственная окружность C_{4}
, если даны четыре других.
Пусть I
— вершина параллелограмма AO_{1}O_{3}I
. Докажем, то I
и есть центр O_{4}
окружности C_{4}
. Действительно, поскольку O_{3}I\parallel OO_{2}
и O_{3}I=O_{1}O=OO_{2}
, то OO_{3}IO_{2}
— тоже параллелограмм. Пусть окружность C_{3}
пересекает отрезок O_{3}I
в точке P
, окружность C_{2}
пересекает отрезок O_{2}I
в точке Q
, а луч OI
пересекает окружность C
в точке R
. Тогда
IO_{3}=OO_{1}=r-a~\Rightarrow~IP=IO_{3}-b=OO_{1}-b=r-a-b,
IO_{2}=OO_{3}=r-b~\Rightarrow~IQ=IO_{2}-a=OO_{1}-b=r-b-a,
IO=O_{1}O_{3}=a+b~\Rightarrow~IR=OR-IO=r-a-b.
Значит, точка I
совпадает с центром O_{4}
окружности C_{4}
. Следовательно, O_{3}O_{4}\parallel AA'
, а также
c=O_{4}P=IP=IR=r-a-b,
т. е. r=a+b+c
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 9, задача 1689 (271), с. 280