13521. Пусть l
— прямая, проходящая через ортоцентр H
треугольника ABC
, A'
, B'
и C'
— основания перпендикуляров, опущенных на прямую l
из точек A
, B
и C
соответственно, а точки A''
, B''
и C''
выбраны так, что A'
, B'
и C'
— середины отрезков HA''
, HB''
и HC''
соответственно. Докажите, что прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке L
, и найдите геометрическое место точек L
, если прямая l
вращается вокруг точки H
.
Ответ. Описанная окружность треугольника ABC
.
Решение. Пусть AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC
остроугольный, а прямая l
пересекает отрезки AB
и AC
(см. рис.).
Пусть прямые BB''
и CC''
пересекают прямую AA''
в точках L
и M
соответственно. Поскольку AA'
— высота и медиана треугольника HAA''
, этот треугольник равнобедренный, поэтому \angle AHA'=\angle AA''A'
. Аналогично, \angle BHB'=\angle BB''B'
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ALB=\angle A''LB''=\angle AA''B''-\angle A''B''L=\angle AHA'-\angle BHB'=
=\angle AHA'-EHA'=\angle AHE=\angle ACB.
Из точек L
и C
, лежащих по одну сторону от прямой AB
, отрезок AB
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, L
, C
лежат на одной окружности, причём эта окружность совпадает с описанной окружностью треугольника ABC
. Таким образом, L
— отличная от A
точка пересечения прямой AA''
с описанной окружностью треугольника ABC
. Аналогично, точка M
— отличная от A
точка пересечения прямой AA''
с описанной окружностью треугольника ABC
. Таким образом, точки M
и L
совпадают. Следовательно, прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке, а искомое геометрическое место точек пересечения — описанная окружность треугольника ABC
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 9, задача 1694 (301), с. 286