13531. Точки I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей остроугольного треугольника ABC
. Известно, что AB\lt AC
и IO=\frac{AC-AB}{2}
. Докажите, что
S_{\triangle IAO}=\frac{S_{\triangle BAO}-S_{\triangle CAO}}{2}.
Решение. Пусть a=BC
, b=AC
, c=AB
, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, I_{b}
и I_{c}
— проекции точки I
на стороны AC
и AB
соответственно, I'
и O'
— проекции99 точек соответственно I
и O
на сторону BC
.
Тогда
2IO=AC-AB=(AI_{b}+CI_{b})-(AI_{c}+BI_{c})=CI_{b}-BI_{c}=CI'-BI'=2I'O'.
Значит, IOO'I'
— прямоугольник или равнобедренная трапеция. Последнее невозможно, так как углы при стороне I'O'
прямые, поэтому IOO'I'
— прямоугольник. Тогда IO\parallel BC
, и S_{\triangle BCO}=S_{\triangle BCI}
. Из равенства
S_{\triangle ABI}+S_{\triangle BCI}+S_{\triangle CAI}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle CAO},
получаем равенство,
S_{\triangle ABO}+S_{\triangle CAO}=S_{\triangle ABI}+S_{\triangle CAI}=\frac{1}{2}rc+\frac{1}{2}rb=\frac{r(b+c)}{2}.
Кроме того
IO=I'0'=0'B-I'B=\frac{a}{2}-(p-b)=\frac{a}{2}-\frac{a+c-b}{2}=\frac{b-c}{2}.
Тогда
S_{\triangle BAO}=S_{\triangle ABI}+S_{\triangle OBI}+S_{\triangle IAO}=\frac{1}{2}rc+\frac{1}{2}r\cdot\frac{b-c}{2}+S_{\triangle IAO}=
=\frac{r(b+c)}{4}+S_{\triangle IAO}=\frac{1}{2}(S_{\triangle BAO}+S_{\triangle CAO})+S_{\triangle IAO}.
Следовательно,
S_{\triangle IAO}=\frac{1}{2}(S_{\triangle BAO}-S_{\triangle CAO}).
Что и требовалось доказать.