13532. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Наибольший из отрезков AB
, AC
, AD
, BC
, BD
и CD
равен g
, а наименьший равен h
. Докажите, что g\geqslant h\sqrt{2}
.
Решение. Поскольку ABCD
— выпуклый четырёхугольник, не все из его углов при вершинах меньше 90^{\circ}
, так как их сумма равна 360^{\circ}
. Пусть, например, \angle A\geqslant90^{\circ}
. Без ограничения общности будем считать, что DA\geqslant AB
. Отрезок BD
не обязательно наибольший из шести рассматриваемых, но так как \angle A\geqslant90^{\circ}
, то по теореме косинусов
g^{2}\geqslant BD^{2}=DA^{2}+AB^{2}-2BD\cdot AB\cos\angle A\geqslant2AB^{2}\geqslant2h^{2}.
Следовательно, g\geqslant a\sqrt{2}
, причём равенство достигается, если ABCD
— квадрат.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 6, задача 1, с. 161
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 1991