13542. Точка P
расположена внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
, причём треугольники PAB
, PBC
, PCD
, PDA
равновелики. Докажите, что одна из диагоналей разбивает четырёхугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Обозначим
\angle APB=\alpha,~\angle BPC=\beta,~\angle CPD=\gamma,~\angle APB=\alpha,~DBA=\delta.
Тогда
\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ},
S_{\triangle APB}=S_{\triangle CPD},~PA\cdot PB\sin\alpha=PC\cdot PD\gamma
S_{\triangle BPC}=S_{\triangle APD},~PB\cdot PC\sin\beta=PD\cdot PA\sin\delta,
откуда
PA\cdot PB\cdot PC\cdot PD\sin\alpha\sin\gamma=PA\cdot PB\cdot PC\cdot PD\sin\beta\sin\delta.
Тогда
\sin\alpha\sin\gamma=\sin\beta\sin\delta,
\cos(\alpha-\gamma)-\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\beta-\delta)-\cos(\beta+\delta),
а так как
\cos(\beta+\delta)=\cos(360^{\circ}-\beta-\delta)=\cos(\alpha+\gamma),
То
\cos(\alpha-\gamma)=\cos(\beta-\delta).
Значит, либо
\alpha-\gamma=\beta-\delta,~\mbox{т. е.}~\alpha+\delta=\beta+\gamma,
либо
\alpha-\gamma=-(\beta-\delta),~\mbox{т. е.}~\alpha+\beta=\delta+\gamma.
В первом из этих случаев диагональ BD
разбивает четырёхугольник ABCD
на два равновеликих треугольника, во втором — диагональ AC
. Что и требовалось.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 5, задача 6, с. 132
Источник: Австрийско-польские математические олимпиады. — 1993