13545. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AD
и BE
. Известно, что AD=AB
и BE=BC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \frac{2\pi}{13}
, \frac{6\pi}{13}
, \frac{5\pi}{13}
.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
соответственно. Из равнобедренных треугольников BAD
и CBE
получаем
\beta=90^{\circ}-\frac{\alpha}{4},~\gamma=90^{\circ}-\frac{\beta}{4}=90^{\circ}-\frac{90^{\circ}-\frac{\alpha}{4}}{4}=\frac{1}{2}\cdot135^{\circ}+\frac{\alpha}{16},
а так как
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},
то
\alpha+\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot135^{\circ}+\frac{\alpha}{16}\right)=\frac{13}{16}\alpha+\frac{1}{2}\cdot325^{\circ}.
Отсюда находим, что \alpha=\frac{1}{13}\cdot360^{\circ}
. Следовательно,
\beta=90^{\circ}-\frac{\alpha}{4}=\frac{1}{13}\cdot1080^{\circ},
\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta=\frac{1}{13}\cdot900^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 6, задача 1880 (235), с. 208