1355. В треугольнике ABC
сторона BC
равна 4, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 3. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку A
и касается BC
, причём одна касается BC
в точке B
, а вторая — в точке C
.
Ответ. \frac{5}{3}
.
Указание. Докажите, что продолжение общей хорды указанных окружностей проходит через середину BC
.
Решение. Пусть D
— вторая точка пересечения указанных окружностей, а прямая AD
пересекает BC
в точке M
. Тогда по теореме о касательной и секущей
MB^{2}=MA\cdot MD=MC^{2},
поэтому MB=MC
, т. е. AM
— медиана треугольника ABC
, AM=3
. Из уравнения
MA(MA-AD)=MB^{2},~\mbox{или}~3(3-AD)=4
находим, что AD=\frac{5}{3}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 55, с. 163
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 12.21, с. 94