13550. Прямая
l
проходит через ортоцентр
H
непрямоугольного треугольника
ABC
и пересекает сторону
AB
в точке
D
, отличной от
B
, а сторону
AC
— в точке
E
, отличной от
C
. Докажите, что отношение площадей треугольников
PBD
и
PCE
равно отношению отрезков
DH
и
HE
.
Решение. Обозначим через
d_{1}
и
d_{2}
расстояния от точки
P
до прямых
AB
и
AC
соответственно. Тогда
\frac{S_{\triangle PBD}}{S_{\triangle PCE}}=\frac{BD\cdot d_{1}}{CE\cdot d_{2}},

а так как из гомотетии отношение
\frac{d_{1}}{d_{2}}
, как и отношение
\frac{BD}{CE}
, не зависит от положения точки
P
на прямой
l
, то и отношение
\frac{S_{\triangle PBD}}{S_{\triangle PCE}}
не зависит от положения точки
P
на прямой
l
. Следовательно, достаточно доказать утверждение задачи для какого-то фиксированного положения точки
P
на прямой
l
, например, для случая, когда
P
— точка пересечения прямых
l
CH
.
Пусть прямые
PD
и
BH
пересекаются в точке
Q
. Поскольку
AP\perp l
, точка
H
— ортоцентр треугольника
ADP
, поэтому
AH\perp PQ
. Значит,
PQ\parallel BC
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle PHD}}{S_{\triangle PBD}}=\frac{HQ}{QB}=\frac{HP}{PC}=\frac{S_{\triangle PHE}}{S_{\triangle PCE}}~\Rightarrow~\frac{S_{\triangle PBD}}{S_{\triangle PCE}}=\frac{S_{\triangle PHD}}{S_{\triangle PHE}}=\frac{DH}{HE}.

Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 9, задача 1891 (294), с. 258