13550. Прямая l
проходит через ортоцентр H
непрямоугольного треугольника ABC
и пересекает сторону AB
в точке D
, отличной от B
, а сторону AC
— в точке E
, отличной от C
. Докажите, что отношение площадей треугольников PBD
и PCE
равно отношению отрезков DH
и HE
.
Решение. Обозначим через d_{1}
и d_{2}
расстояния от точки P
до прямых AB
и AC
соответственно. Тогда
\frac{S_{\triangle PBD}}{S_{\triangle PCE}}=\frac{BD\cdot d_{1}}{CE\cdot d_{2}},
а так как из гомотетии отношение \frac{d_{1}}{d_{2}}
, как и отношение \frac{BD}{CE}
, не зависит от положения точки P
на прямой l
, то и отношение \frac{S_{\triangle PBD}}{S_{\triangle PCE}}
не зависит от положения точки P
на прямой l
. Следовательно, достаточно доказать утверждение задачи для какого-то фиксированного положения точки P
на прямой l
, например, для случая, когда P
— точка пересечения прямых l
CH
.
Пусть прямые PD
и BH
пересекаются в точке Q
. Поскольку AP\perp l
, точка H
— ортоцентр треугольника ADP
, поэтому AH\perp PQ
. Значит, PQ\parallel BC
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle PHD}}{S_{\triangle PBD}}=\frac{HQ}{QB}=\frac{HP}{PC}=\frac{S_{\triangle PHE}}{S_{\triangle PCE}}~\Rightarrow~\frac{S_{\triangle PBD}}{S_{\triangle PCE}}=\frac{S_{\triangle PHD}}{S_{\triangle PHE}}=\frac{DH}{HE}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 9, задача 1891 (294), с. 258