13551. В треугольнике ABC
биссектрисы углов B
и C
пересекают медиану AD
в точках E
и F
соответственно. Известно, что BE=CF
. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Предположим, что \angle C\gt\angle B
. На продолжении медианы AD
за точку D
отложим отрезок DX=AD
. Тогда ABXC
— параллелограмм, у которого CX=AB\gt AC
. Тогда
\frac{1}{2}\angle A=\angle CAX\gt\angle CXA=\angle DAB=\frac{1}{2}\angle B.
Пусть Y
— точка на отрезке DX
, для которой CY\parallel BE
. Тогда треугольники CYD
и BED
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому CY=BE=CF
. Значит, треугольник CFY
равнобедренный, и
\angle CFY=\angle CYF=\angle YEB.
В то же время, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CFY=\angle CAF+\frac{1}{2}\angle C,~\angle YEB=\angle YAB+\frac{1}{2}\angle B,
а так как \angle C\gt\angle B
, то \angle CFY\gt\angle YEB
. Противоречие. Аналогично, если предположить, что \angle C\lt\angle B
. Следовательно, \angle C=\angle B
, и треугольник ABC
равнобедренный. Что и требовалось доказать.