13552. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
, P
произвольная точка на дуге ACB
, отличная от A
, B
и C
, а точки X
и Y
на лучах AP
и BP
соответственно взяты так, что AX=AC
и BY=BC
. Докажите, что все прямые XY
проходят через фиксированную точку.
Решение. Первый способ. Проведём окружность с центром A
радиуса AC
и окружность с центром B
радиуса BC
. Пусть D
— точка их пересечения, отличная от C
. Точки X
и Y
лежат на первой и второй окружности соответственно. Докажем, что прямые XY
проходят через точку D
.
Вписанный угол равен половине соответствующего центрального, поэтому
\angle XAC=2\angle XDC,~\angle YBC=2\angle YDC.
Также \angle PBC=\angle PAC
как вписанные в окружность \Gamma
углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Значит, \angle PBC=\angle YBC
и \angle PAC=\angle XAC
(так как точки B
, P
, Y
лежат на одной прямой и точки A
, P
, X
лежат на одной прямой). Из всего этого получаем, что \angle XDC=\angle YDC
. Значит, точки X
, Y
и D
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать. (Заметим, что точки X
и Y
лежат по одну сторону от прямой CD
.)
Второй способ. Пусть D
— точка, симметрична точке C
относительно прямой AB
. Докажем, что D
— искомая фиксированная точка. Рассмотрим четырёхугольник APBD
. Проведём биссектрисы l
и m
углов PAD
и PBD
соответственно. Из равенства
\angle APB=\angle ACB=\angle ADB,
получаем, что l
и m
параллельны (если два противоположных угла выпуклого четырёхугольника равны, то биссектрисы двух других углов параллельны или лежат на одной прямой).
Поскольку AX=AC=AD
и BY=BC=BD
, треугольники DAX
и DBY
равнобедренные.
Биссектриса l
угла при вершине A
равнобедренного треугольника DAX
перпендикулярна его основанию DX
, а биссектриса m
угла при вершине B
равнобедренного треугольника DBY
перпендикулярна его основанию DY
, а так как эти биссектрисы параллельны, то прямые DX
и DY
совпадают. Следовательно, каждая прямая XY
проходит через точку D
. Что и требовалось доказать.