13555. Точки D
и E
лежат на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, причём DE\parallel BC
. Точка P
, лежащая внутри треугольника ADE
, соединена отрезками с вершинами B
и C
. Отрезки PB
и PC
пересекают отрезок DE
в точках F
и G
соответственно. Точки O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников PGD
и PFE
соответственно. Докажите, что AP\perp O_{1}O_{2}
.
Решение. Для доказательства перпендикулярности AP
и O_{1}O_{2}
достаточно доказать, что прямая AP
— радикальная ось указанных окружностей.
Пусть прямая AP
пересекает отрезок DE
в точке M
. Тогда достаточно доказать, что точка M
лежит на радикальной оси этих окружностей, т. е. что равны степени точки M
относительно них, или что MD\cdot MG=ME\cdot MF
.
По теореме Менелая для треугольника AME
и прямой CGP
получаем
\frac{AP}{PM}\cdot\frac{MG}{GE}\cdot\frac{EC}{CA}=1.
По теореме Менелая для треугольника AMD
и прямой BFP
получаем
\frac{AP}{PM}\cdot\frac{MF}{FD}\cdot\frac{DB}{BA}=1.
Поскольку, \frac{DB}{BA}=\frac{EC}{CA}
, то
\frac{MG}{GE}=\frac{MF}{FD},
а так как по свойству пропорций \frac{MG}{ME}=\frac{MF}{MD}
, то MD\cdot MG=ME\cdot MF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 2, задача 1921 (74), с. 62