13558. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A\lt90^{\circ}
и \angle B\leqslant C
. Касательные к его описанной окружности (с центром O
), проведённые в точках B
и C
, пересекаются в точке D
. Пусть \angle OAD=\varphi
. Докажите, что 2\tg\varphi=\ctg\angle B-\ctg\angle C
.
Решение. Рассмотрим случай \angle C\leqslant90^{\circ}
. Для \angle C\gt90^{\circ}
доказательство аналогично.
Пусть E
— точка пересечения OD
и BC
(тогда E
— середина стороны BC
и OE\perp BC
). Прямоугольные треугольники OEC
и OCD
подобны, поэтому
\frac{OE}{OA}=\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OD}=\frac{OA}{OD}.
Значит, треугольники AOE
и DOA
с общим углом при вершине O
тоже подобны. Следовательно,
\varphi=\angle OAD=\angle OEA=\angle EAF,
где AF
— высота треугольника ABC
.
Обозначим AF=h
, BF=b_{1}
, CF=b_{2}
. Тогда
EC=\frac{b_{1}+b_{2}}{2},~EF=EC-CF=\frac{b_{1}+b_{2}}{2}-b_{2}=\frac{b_{1}-b_{2}}{2}.
Следовательно,
2\tg\varphi=2\cdot\frac{EF}{AF}=2\cdot\frac{\frac{b_{1}-b_{2}}{2}}{h}=\frac{b_{1}-b_{2}}{h}=\frac{b_{1}}{h}-\frac{b_{2}}{h}=\ctg\angle B-\ctg\angle C.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 5, задача 1954 (164), с. 166