13564. На фиксированном диаметре AB
окружности с центром M
отмечена фиксированная точка K
отрезка AM
. Пусть прямая t
касается окружности в точке A
. Для каждой хорды CD
(отличной от AB
), проходящей через точку K
, отметим точки P
и Q
пересечения прямой t
с прямыми BK
и BD
. Докажите, что произведение AP\cdot AQ
одно и то же, для любой такой хорды CD
.
Решение. Поскольку \angle BAP=90^{\circ}
и \angle ACB=90^{\circ}
, прямоугольные треугольники APB
и CAB
подобны, поэтому \frac{AP}{AB}=\frac{CA}{CB}
. Аналогично, \frac{AQ}{AB}=\frac{DA}{DB}
. Перемножив эти равенства, получим
\frac{AP\cdot AQ}{AB^{2}}=\frac{CA\cdot DA}{CB\cdot DB}.
Поскольку точки A
, C
, B
, D
лежат на одной окружности, треугольник ACK
подобен треугольнику DBK
, а треугольник DAK
— треугольнику BCK
. Значит,
\frac{KA}{KD}=\frac{CK}{BK},~\frac{DA}{CB}=\frac{AK}{CK}.
Тогда
\frac{CA\cdot DA}{CB\cdot DB}=\frac{CA}{BD}\cdot\frac{DA}{CB}=\frac{CK}{BK}\cdot\frac{AK}{CK}=\frac{AK}{BK}.
Значит,
\frac{AP\cdot AQ}{AB^{2}}=\frac{AK}{BK}.
Следовательно,
AP\cdot AQ=AB^{2}\cdot\frac{AK}{BK},
т. е. произведение не зависит от положения хорды CD
, проходящей через фиксированную точку K
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 10, задача 5, с. 337
Источник: Австрийско-польские математические олимпиады. — 1992