13567. Через вершины A
, B
и C
квадрата ABCD
проведены три параллельные прямые l_{1}
, l_{2}
и l_{l}
соответственно. Расстояния между l_{1}
и l_{2}
равно 5, а расстояние между l_{2}
и l_{3}
равно 7. Найдите площадь квадрата.
Ответ. 74.
Решение. Пусть E
и F
— проекции точки B
на прямые l_{1}
и l_{3}
соответственно. Тогда
\angle AEB=90^{\circ}=\angle BFC,~\angle BAE=90^{\circ}-\angle ABE=\angle CBF.
Значит, треугольники BAE
и BCF
подобны.
Обозначим через x
сторону квадрата. Тогда
\frac{x}{\sqrt{x^{2}-5^{2}}}=\frac{x}{7},
откуда находим, что x^{2}=74
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 4, задача 4, с. 154