13567. Через вершины
A
,
B
и
C
квадрата
ABCD
проведены три параллельные прямые
l_{1}
,
l_{2}
и
l_{3}
соответственно. Расстояния между
l_{1}
и
l_{2}
равно 5, а расстояние между
l_{2}
и
l_{3}
равно 7. Найдите площадь квадрата.
Ответ. 74.
Решение. Пусть
E
и
F
— проекции точки
B
на прямые
l_{1}
и
l_{3}
соответственно. Тогда
\angle AEB=90^{\circ}=\angle BFC,~\angle BAE=90^{\circ}-\angle ABE=\angle CBF.

Значит, треугольники
BAE
и
BCF
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда
AE=BF=7~\Rightarrow~AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{7^{2}+5^{2}}=\sqrt{74}.

Следовательно, что
S_{ABCD}=AC^{2}=74
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 4, задача 4, с. 154