13568. Точки O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольник ABC
, точка D
— основание высоты, проведённой из вершины A
. Известно, что радиус R
описанной окружности треугольника равен радиусу r_{a}
вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Докажите, что точки O
, I
и D
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, AD=h_{a}
, p
— полупериметр треугольника ABC
.
Если AB=AC
, точки I
и O
лежат на прямой AD
, следовательно, для этого случая утверждение верно.
Пусть AB\ne AC
, биссектриса угла A
пересекает описанную окружность в точке E
, а прямые AE
и OD
пересекаются в точке J
. Поскольку прямая OE
— серединный перпендикуляр к стороне BC
, то прямые AD
и OE
параллельны, и треугольники AJD
и EJO
подобны. По условию r_{a}=R
, поэтому
\frac{AJ}{JE}=\frac{AD}{OE}=\frac{h_{a}}{R}=\frac{h_{a}}{r_{a}}=\frac{2S_{\triangle ABC}}{ar_{a}}=\frac{2r_{a}(p-a)}{ar_{a}}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{b+c}{a}-1,
откуда
\frac{b+c}{a}=\frac{AJ}{JE}+1.
По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника ABEC
получаем
AE\cdot BC=BE\cdot AC+CE\cdot AB,~\mbox{или}~(AJ+JE)a=BE(b+c),
откуда
AJ=BE\cdot\frac{b+c}{a}-JE=BE\cdot\left(\frac{AJ}{JE}+1\right)-JE=
=BE\cdot\frac{AJ+JE}{JE}-JE=BE\cdot\frac{AE}{JE}-JE.
Значит,
AE=AJ+JE=BE\cdot\frac{AE}{JE}.
Следовательно, JE=BE
, а так как точка I
(как и точка J
) лежит на биссектрисе AE
и по теореме о трилистнике (см. задачу 788) IE=BE
, то точка J
совпадает с I
. Отсюда следует утверждение задачи.