13569. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Прямые AP
, BP
, CP
пересекают BC
, CA
, AB
в точках D
, E
, F
соответственно. Пусть M
и N
— точки на отрезках BF
и CE
соответственно, причём BM:MF=EN:NC
, а прямая MN
пересекает отрезки BE
и CF
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что MX:YN=BD:DC
.
Решение. Применив теорему Менелая к треугольникам CNY
и YFM
и прямой BE
, получим,
\frac{CE}{EN}\cdot\frac{NX}{XY}\cdot\frac{YP}{PC}=-1,~\frac{FB}{BM}\cdot\frac{MY}{YX}\cdot\frac{XB}{BE}=-1,
откуда
\frac{CE}{EN}\cdot\frac{NX}{XY}\cdot\frac{YP}{PC}=\frac{FB}{BM}\cdot\frac{MX}{XY}\cdot\frac{YP}{PF}.
По условию \frac{BM}{MF}=\frac{EN}{NC}
, поэтому \frac{CE}{EN}=\frac{FB}{BM}
. Тогда \frac{NX}{MX}=\frac{PC}{PF}
, что равносильно равенству \frac{FC}{PF}=\frac{MN}{XM}
. Аналогично, применив теорему Менелая к треугольникам BXM
и XNE
и прямой FC
, получим \frac{EB}{PE}=\frac{NM}{YN}
.
Применив теорему Чевы к треугольникам ABC
и теорему Менелая к треугольникам CEP
и BEA
и прямым AB
и CF
соответственно, получим
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1,
\frac{CA}{AE}\cdot\frac{MY}{YX}\cdot\frac{XB}{BE}=-1,~\frac{BP}{PE}\cdot\frac{EC}{CA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1,
Таким образом,
1=\frac{1}{-1\cdot(-1)}=\frac{\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}}{\frac{CA}{AE}\cdot\frac{MY}{YX}\cdot\frac{XB}{BE}\cdot\frac{BP}{PE}\cdot\frac{EC}{CA}\cdot\frac{AF}{FB}}=
=\frac{BD}{DC}\cdot\frac{PE}{EB}\cdot\frac{FC}{PF}.
Следовательно,
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{YN}{NM}\cdot\frac{MN}{XM}=1,
или
MX:YN=BD:DC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 4, задача 2041 (157), с. 173