1357. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
, AB=1
, BC=a
. Найдите AC
.
Ответ. Если a\lt\frac{\sqrt{3}}{2}
, решений нет;
если a=\frac{\sqrt{3}}{2}
, AC=\frac{1}{2}
;
если \frac{\sqrt{3}}{2}\lt a\lt1
, AC=\frac{1\pm\sqrt{4a^{2}-3}}{2}
;
если a\geqslant1
, AC=\frac{1+\sqrt{4a^{2}-3}}{2}
.
Указание. С помощью теоремы косинусов составьте квадратное уравнение относительно AC
и исследуйте его.
Решение. Обозначим AC=x
. По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
a^{2}=1+x^{2}-2x\cos60^{\circ}=1+x^{2}-x,
или
x^{2}-x+1-a^{2}=0.
Пусть D
— дискриминант этого квадратного уравнения. Тогда D=4a^{2}-3
.
Если D\lt0
(т. е. a\lt\frac{\sqrt{3}}{2}
), то уравнение не имеет решений.
Если D=0
(a=\frac{\sqrt{3}}{2}
), уравнение имеет единственное решение: a=\frac{1}{2}
.
Если D\gt0
(a\gt\frac{\sqrt{3}}{2}
), то уравнение имеет два различных решения: x=\frac{1\pm\sqrt{4a^{2}-3}}{2}
, причём, если \frac{\sqrt{3}}{2}\lt a\lt1
, то оба они положительны, так как по теореме Виета их сумма равна 1, а произведение равно 1-a^{2}\gt0
.
Если же a\geqslant1
, то корень \frac{1+\sqrt{4a^{2}-3}}{2}
— положительный, а корень \frac{1-\sqrt{4a^{2}-3}}{2}
— отрицательный или 0 (при a\gt1
их произведение равно отрицательному числу 1-a^{2}
).