13571. Медианы треугольника ABC
пересекаются в точке G
, P
— произвольная точка внутри треугольника ABC
, точки D
, E
, F
лежат на сторонах BC
, CA
, AB
соответственно, причём PD\parallel AG
, PE\parallel BG
, PF\parallel CG
. Докажите, что сумма площадей треугольников PAF
, PBD
, PCE
постоянна.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно AB
, пересекает стороны BC
и CA
в точках I
и L
соответственно; прямая, проведённая через точку P
параллельно BC
, пересекает стороны CA
и AB
в точках K
и N
соответственно; прямая, проведённая через точку P
параллельно CA
, пересекает стороны AB
и BC
в точках M
и J
соответственно.
Поскольку PI\parallel AB
и PJ\parallel AC
, треугольник PIJ
гомотетичен треугольнику ABC
, а так как PD\parallel AG
, то середине стороны BC
треугольника ABC
соответствует точка D
стороны IG
треугольника PIJ
. Следовательно, D
— середина отрезка IJ
.
Треугольник PDI
равновелик треугольнику PDJ
, так как PI
— медиана треугольника PIJ
, а треугольник PBI
равновелик треугольнику PNB
, так как PNBI
— параллелограмм. Значит, площадь треугольника PBD
равна половине площади четырёхугольника PNBJ
. Аналогично, площадь треугольника PAF
равна половине площади четырёхугольника PNAL
, а площадь треугольника PCE
— половине площади четырёхугольника PJCL
. Следовательно,
S_{\triangle PAF}+S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PCE}=\frac{1}{2}S_{PNAL}+\frac{1}{2}S_{PNBJ}+\frac{1}{2}S_{PJCL}=
=\frac{1}{2}(S_{PNAL}+S_{PNBJ}+S_{PJCL})=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 5, задача 2061 (234), с. 230