13573. Биссектрисы углов при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
пересекают его описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что периметр треугольника равен
AA_{1}\cos\frac{1}{2}\angle A+BB_{1}\cos\frac{1}{2}\angle B+CC_{1}\cos\frac{1}{2}\angle C.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Пусть радиус описанной окружности треугольника равен R
.
Вписанные углы CBA_{1}
и BAA_{1}
опираются на равные дуги, поэтому они равны. Значит,
\angle ABA_{1}=\angle ABC+\angle CBA_{1}=\beta+\frac{\alpha}{2}.
Из треугольника BAA_{1}
по теореме синусов получаем
AA_{1}=2R\sin\angle ABA_{1}=2R\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right).
Тогда
A_{1}\cos\frac{\alpha}{2}=2R\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\frac{\alpha}{2}=R(\sin(\beta+\alpha)+\sin\beta))=
=R\sin\gamma+R\sin\beta=\frac{b+c}{2}.
Аналогично,
BB_{1}\cos\frac{\beta}{2}=\frac{c+a}{2},~CC_{1}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{a+b}{2}.
Следовательно,
AA_{1}\cos\frac{\alpha}{2}+BB_{1}\cos\frac{\beta}{2}+CC_{1}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c.
Что и требовалось доказать.