13574. На стороне BC
треугольника ABC
отмечены середина D
и основание E
биссектрисы угла A
соответственно. Окружность, описанная около треугольника ADE
, пересекает стороны AC
и AB
в точках F
и G
соответственно. На отрезке AG
отмечена точка H
, причём G
— середина BH
. Докажите, что треугольники EBH
и ABC
подобны и найдите отношение их площадей, если BC=a
, AC=b
и AB=c
.
Ответ. \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}
.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
, \gamma
углы при вершинах соответственно A
, B
, C
треугольника ABC
.
По теореме о вписанных углах
\angle BEG=\angle DEG=\angle DFG=\angle DAG=\angle DAB~
Треугольники BEG
и BAD
с общим углом при B
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BE}{BA}=\frac{BG}{BD}=\frac{GE}{DA}.
Тогда
\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{1}{2}BH}{\frac{1}{2}BC}=\frac{BH}{BC}.
Значит, треугольники EBH
и ABC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т. е.
\frac{S_{\triangle EBH}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{BE}{BA}\right)^{2}=\left(\frac{BE}{c}\right)^{2}.
По теореме синусов из треугольников BAD
и CAE
получаем
\frac{BE}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{AE}{\sin\beta},~\frac{a-BE}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{AE}{\sin\gamma}.
Разделив первое равенство на второе, получим, что
BE\sin\beta=(a-BE)\sin\gamma,
откуда
BE=\frac{a\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma}=\frac{a\cdot\frac{c}{2R}}{\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}}=\frac{ac}{b+c}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle EBH}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{BE}{c}\right)^{2}=\left(\frac{\frac{ac}{b+c}}{c}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}.