13575. В треугольнике ABC
с тупым углом при вершине A
проведены высоты AD
, BE
и CF
. Точки E'
и F'
— основания перпендикуляров, опущенных из E
и F
на прямую BC
. Известно, что 2E'F'=2AD+BC
. Найдите угол A
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Тогда
AD=AC\sin\gamma=b\sin\gamma,
CF'=BC-BF'=a-BF\cos\beta=a-BC\cos\beta\cdot\cos\beta=
=a-a\cos^{2}\beta=a\sin^{2}\beta.
Аналогично,
BE'=a\sin^{2}\gamma.
Значит,
E'F'=BC-CF'-BE'=a-a\sin^{2}\beta-a\sin^{2}\gamma.
По условию
2(-a\sin^{2}\beta-a\sin^{2}\gamma)=2b\sin\gamma+a,
а так как по теореме синусов \frac{b}{a}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}
, и учитывая, что \cos(\beta+\gamma)=-\cos\alpha
, после очевидных преобразований получаем
\sin\alpha(1-2\sin^{2}\beta-2\sin^{2}\gamma)=2\sin\beta\sin\gamma~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\alpha(\cos2\beta+\cos2\gamma-1)=\cos(\beta-\gamma)-\cos(\beta+\gamma)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\alpha(2\cos(\beta-\gamma)\cos(\beta+\gamma)-1)=\cos(\beta-\gamma)+\cos\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~-\cos(\beta-\gamma)(1+2\sin\alpha\cos\alpha)=\cos\alpha+\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(\cos\alpha+\sin\alpha)(1+(\cos\alpha+\sin\alpha)\cos(\beta-\gamma))=0.
По условию \alpha\gt90^{\circ}
. Если \alpha\geqslant135^{\circ}
, то \alpha-45^{\circ}\geqslant90^{\circ}
, поэтому
1+(\cos\alpha+\sin\alpha)\cos(\beta-\gamma)=1+\sqrt{2}\cos(\alpha-45^{\circ})\cos(\beta-\gamma)\gt0,
так как -1\lt\sqrt{2}\cos(\alpha-45^{\circ})\cos(\beta-\gamma)\leqslant0
, а \cos(\beta-\gamma)\gt0
.
Если же 0^{\circ}\lt\alpha\lt135^{\circ}
, то \cos(\alpha-45^{\circ})\gt-\frac{1}{\sqrt{2}}
, поэтому
1+(\cos\alpha+\sin\alpha)\cos(\beta-\gamma)=1+\sqrt{2}\cos(\alpha-45^{\circ})\cos(\beta-\gamma)\gt
\gt1+\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.
Таким образом,
\cos\alpha+\sin\alpha=0,
откуда находим, что \alpha=135^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 7, задача 2082 (1995, с. 306), с. 328