13577. На полуокружности с диаметром AB
и центром O
отмечены точки D
и C
, причём EO\perp AB
, а хорда AC
пересекает отрезок EO
в такой точке D
, что в четырёхугольник OBCD
можно вписать окружность. Найдите все значения угла BAC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть OA=OB=OD=1
. Тогда
OD=OA\tg\alpha=\tg\alpha,~BC=AB\sin\alpha=2\sin\alpha,
CD=AC-AD=2\cos\alpha-\frac{1}{\cos\alpha}.
Четырёхугольник OBCD
вписанный, поэтому
OD+BC=OB+CD,
или
\tg\alpha+2\sin\alpha=1+2\cos\alpha-\frac{1}{\cos\alpha}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos\alpha+2\cos^{2}\alpha-1=\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos\alpha+\cos2\alpha=\sin\alpha+\sin2\alpha~\Leftrightarrow~2\cos\frac{3}{2}\alpha\cos\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{3}{2}\alpha\cos\frac{\alpha}{2},
а так как \alpha\ne180^{\circ}
, то \cos\frac{\alpha}{2}\ne0
, поэтому \sin\frac{3}{2}\alpha=\cos\frac{3}{2}\alpha
, или \tg\frac{3}{2}\alpha=1
, т. е. \frac{3}{2}\alpha=45^{\circ}+180^{\circ}k
, где k\in\mathbb{Z}
. Единственное решение, удовлетворяющее условию задачи, — это \alpha=30^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 8, задача 2, с. 352
Источник: Турецкие математические олимпиады. — 1993