13578. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке X
. Известно, что AB\parallel CD
, AB=2CX
и AC=CD
. Докажите, что AB=CD
(т. е. ABCD
— параллелограмм).
Ответ. Треугольники AXB
и CXD
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AX}{CX}=\frac{AB}{CD}~\Rightarrow~\frac{AX+CX}{CX}=\frac{AB+CD}{CD}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\frac{AC}{\frac{1}{2}AB}=\frac{AB+CD}{CD}~\Rightarrow~\frac{2CD}{AB}=\frac{AB+CD}{CD}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~2CD^{2}=AB^{2}+AB\cdot CD~\Rightarrow~CD^{2}-AB^{2}+CD^{2}-AB\cdot CD~\Rightarrow~
~\Rightarrow~0=(CD-AB)(2CD+AB)~\Rightarrow~AB=CD.
Противоположные стороны AB
и CD
четырёхугольника ABCD
равны и параллельны, следовательно, ABCD
— параллелограмм.