1358. Через вершину C
равностороннего треугольника ABC
проведена произвольная прямая, K
и M
— проекции точек A
и B
на эту прямую, P
— середина стороны AB
. Докажите, что треугольник KMP
— равносторонний.
Указание. Точки A
, K
, C
и P
лежат на одной окружности.
Решение. Отрезок AC
виден из точек P
и K
под прямым углом, поэтому точки P
и K
лежат на окружности с диаметром AC
. Следовательно,
\angle MKP=\angle CKP=\angle CAP=60^{\circ}.
Аналогично докажем, что \angle KMP=60^{\circ}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 63, с. 164