13580. Прямая l
касается окружности S
в точке A
; B
и C
— точки прямой l
, расположенные по разные стороны от точки A
; касательные к окружности S
, проведённые через точки B
и C
, пересекаются в точке P
. Точки B
и C
перемещаются по прямой l
так, что произведение AB\cdot AC
остаётся постоянным. Найдите геометрическое место точек P
.
Ответ. Прямая, параллельная прямой l
.
Решение. Обозначим AC=p
, AB=q
, \angle CBP=\beta
, \angle BCP=\gamma
, qp=AB\cdot AC=k^{2}
, где k
— константа. Пусть I
— центр окружности S
, r
— её радиус, E
и D
— точки касания окружности с прямыми CP
и BP
соответственно, PE=t
, а полупериметр треугольника BPC
равен s
.
Из прямоугольного треугольника IEP
с острым углом
\angle EIP=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BPC=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta-\gamma)=\frac{\beta+\gamma}{2}
получаем
t=PE=IE\tg\angle EIP=r\tg\frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{r\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right)}{1-\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}}=
=\frac{r\left(\frac{r}{q}+\frac{r}{p}\right)}{1-\frac{r}{q}\cdot\frac{r}{p}}=\frac{r^{2}(p+q)}{pq-r^{2}}.
Тогда
s=p+q+t=p+q+\frac{r^{2}(p+q)}{pq-r^{2}}=(p+q)\left(1+\frac{r^{2}}{pq-r^{2}}\right)=\frac{pq(p+q)}{pq-r^{2}}.
Пусть PH
— высота треугольника BPC
. Записав площадь треугольника двумя способами, получим равенство \frac{1}{2}BC\cdot PH=rs
, откуда
PH=\frac{2rs}{BC}=\frac{2r\cdot\frac{pq(p+q)}{pq-r^{2}}}{p+q}=\frac{2pqr}{pq-r^{2}}=\frac{2k^{2}r}{k^{2}-r}.
Таким образом, расстояние от точки P
до прямой l
есть постоянная величина. Следовательно, искомое ГМТ — прямая, параллельная прямой l
, удалённая от l
на расстояние \frac{2k^{2}r}{k^{2}-r}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 1, задача 3, с. 11
Источник: Ирландские математические олимпиады. — 1993