13583. Дан равносторонний треугольник ABC
со стороной a
. На продолжении отрезка AB
за точку A
отмечена точка P
. Найдите сумму радиусов окружностей, одна из которых — вписанная окружность треугольника ACP
, а вторая — вневписанная окружность треугольника BPC
, касающаяся стороны BC
.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первой и второй окружностей соответственно, r_{1}
и r_{2}
— их радиусы, T_{1}
и T_{2}
— точки касания с прямой PA
, T_{1}'
и T_{2}'
— точки касания с прямой PC
, R
и S
— точки касания со сторонами AC
и BC
.
Из прямоугольных треугольников AT_{1}O_{1}
и BT_{2}O_{2}
находим, что
AT_{1}=O_{1}T_{1}\ctg60^{\circ}=\frac{r_{1}}{\sqrt{3}},~BT_{2}=O_{2}T_{2}\ctg60^{\circ}=\frac{r_{2}}{\sqrt{3}},
поэтому
T_{1}'T_{2}'=T_{1}T_{2}=AT_{1}+AB+BT_{2}=\frac{r_{1}}{\sqrt{3}}+a+\frac{r_{1}}{\sqrt{3}}.
С другой стороны,
T_{1}'T_{2}'=CT_{1}'+CT_{2}'=CR+CS=(CA-AR)+(CB-BS)=
=(CA+CB)-(AR+BS)=2a-(AT_{1}+BT_{2})=2a-\frac{r_{1}}{\sqrt{3}}-\frac{r_{2}}{\sqrt{3}}.
Из равенства
\frac{r_{1}}{\sqrt{3}}+a+\frac{r_{1}}{\sqrt{3}}=2a-\frac{r_{1}}{\sqrt{3}}-\frac{r_{2}}{\sqrt{3}}
находим, что
r_{1}+r_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 2, задача 9, с. 74
Источник: Австрийско-польские математические олимпиады. — 1993