13588. На плоскости даны фиксированные точки A
, B
и фиксированная прямая l
, проходящая через точку A
. Рассматриваются всевозможные точки C
, лежащие на прямой l
по одну сторону от точки A
. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что все прямые DE
проходят через фиксированную точку.
Решение. Пусть C
— произвольная точка из условия задачи. На луче AC
отложим отрезок AP=AB
. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
, AC
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно, а прямая DE
пересекает прямую BP
в точке Q
. По теореме Менелая для треугольника BCP
и прямой DE
получаем
\frac{PE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BQ}{PQ}=1.
При этом EC=CD
, а так как AF=AE
и AP=AB
, то BD=BF=PE
. Значит, \frac{BQ}{QP}=1
, т. е. BQ=QP
, и Q
— середина фиксированного отрезка BP
. Следовательно, все прямые DE
проходят через фиксированную точку Q
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 3, задача 2130 (1996, с. 123), с. 179