13591. Медианы выпуклого пятиугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в одном отношении, считая от вершины. Найдите это отношение. (Медианой пятиугольника называется отрезок, соединяющий вершину с серединой третьей от неё стороны.)
Ответ. \sqrt{5}-1
.
Решение. Пусть ABCDE
— данный выпуклый пятиугольник, а точки A'
, B'
, C'
, D'
и E'
— середины его сторон CD
, DE
, EA
, AB
и BC
соответственно, причём отрезки AA'
, BB'
, CC'
, DD'
и EE'
пересекаются в точке P
и делятся ею в одном отношении. Обозначим
\frac{AP}{PA'}=\frac{BP}{PB'}=\frac{CP}{PC'}=\frac{DP}{PD'}=\frac{EP}{PE'}=\lambda.
Положим D'E'=1
. Отрезок D'E'
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому AC=2D'E'=2
и D'E'\parallel AC
, а так как
\frac{DP}{PD'}=\frac{EP}{PE'}=\lambda,
то D'E'\parallel DE
и \frac{DE}{D'E'}=\lambda
. Значит, DE=\lambda D'E'=\lambda
.
Поскольку
\frac{AP}{PA'}=\frac{CP}{PC'}=\lambda,
то
\frac{AC}{A'C'}=\frac{AP}{PA'}=\lambda,
поэтому
A'C'=\frac{AC}{\lambda}=\frac{2}{\lambda}.
Поскольку AC\parallel D'E'
и D'E'\parallel DE
, то AC\parallel DE
, а так как A'
и C'
— середины CD
и AE
соответственно, то A'C'
— средняя линия трапеции ACDE
, поэтому
AC+DE=2A'C'.
Таким образом, получаем уравнение
2+\lambda=\frac{4}{\lambda},~\mbox{или}~\lambda^{2}+2\lambda-4=0.
Отсюда находим, что \lambda=\sqrt{5}-1
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 5, задача 2154 (1996, с. 217), с. 314