13592. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
перпендикулярны. Точки X
и Y
лежат на сторонах BC
и AD
соответственно, причём \frac{BX}{CX}=\frac{BD}{AC}=\frac{DY}{AY}
. Найдите отношение \frac{BC\cdot XY}{BX\cdot AC}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку X
параллельно диагонали AC
, пересекает сторону AB
в точке Z
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BZ}{AZ}=\frac{BX}{CX}=\frac{DY}{AY}=\frac{BD}{AC},
поэтому DZ\parallel BD
, а так как BD\perp AC
, то ZX\perp ZY
. Значит, треугольник XYZ
прямоугольный с катетами XZ
и YZ
.
Поскольку \frac{BC}{BX}=\frac{AC}{ZX}
и \frac{AC}{BD}=\frac{AZ}{BZ}
, а из подобия треугольников ABD
и AZY
следует, что \frac{BD}{ZY}=\frac{AB}{AZ}
, то
\frac{XZ}{ZY}=\frac{XZ}{AC}\cdot\frac{AC}{BD}\cdot\frac{BD}{ZY}=\frac{BZ}{AB}\cdot\frac{AZ}{BZ}\cdot\frac{AB}{AZ}=1,
поэтому XZ=ZY
. Значит, прямоугольный треугольник XYZ
— равнобедренный. Тогда \frac{XY}{ZX}=\sqrt{2}
. Следовательно,
\frac{BC\cdot XY}{BX\cdot AC}=\frac{BC}{BX}\cdot\frac{XY}{AC}=\frac{AC}{ZX}\cdot\frac{XY}{AC}=\frac{XY}{ZX}=\sqrt{2}.