13595. Точки D
и E
— центры квадратов, построенных внешним образом на сторонах соответственно AB
и AC
произвольного треугольника ABC
. Прямые, проведённые через точки D
и E
перпендикулярно прямой DE
, пересекают прямую BC
в точках F
и G
соответственно. Докажите, что BF=CG
.
Решение. На луче DE
отложим отрезок DH=DF
. Поскольку
\angle ADH=\angle ADB-\angle HDB=90^{\circ}-\angle HDB=\angle HDF-\angle HDB=\angle BDF,
DH=DF
и DA=DB
, то треугольники ADH
и BDF
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, BF=AH
.
Аналогично, \angle AEH=\angle CEG
, а так как
\angle AHE=180^{\circ}-\angle AHD=180^{\circ}-\angle DFB
и DF\parallel EG
, то \angle AHE=\angle EGC
. Тогда
\angle ECG=180^{\circ}-\angle EGC-\angle CEG=180^{\circ}-\angle AHE-\angle AEH=\angle EAH.
Значит, треугольники AEH
и CEG
равны по стороне (AE=CE
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому AH=CG
. Следовательно, BF=AH=CG
. Что и требовалось доказать.