13600. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Пусть прямая AD
вторично пересекает эту окружность в середине X
отрезка AD
, а прямые XB
и XC
вторично пересекают окружность в точках Y
и Z
соответственно. Докажите, что EY=FZ
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BFY=\angle BXF
, поэтому треугольники BFY
и BXF
с общим углом при вершине B
подобны по двум углам. Значит, \frac{FY}{FX}=\frac{BF}{BX}
. Аналогично, \frac{DY}{DX}=\frac{BD}{BX}
, а так как BF=BD
, то \frac{FY}{FX}=\frac{DY}{DX}
.
Кроме того, AX=DX
, поэтому \frac{FY}{FX}=\frac{DY}{AX}
, или \frac{FY}{DY}=\frac{FX}{AX}
, а так как четырёхугольник DXFY
вписанный, то \angle FYD=\angle AXF
. Следовательно, треугольники FYD
и FXA
подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle YFD=\angle XFA=\angle XDF,
поэтому FY\parallel XD
. Аналогично, EZ\parallel XD
, значит, FY\parallel EZ
. Тогда EFYZ
— равнобедренная трапеция или прямоугольник. Следовательно, EY=FZ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 1, задача 5, с. 10
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 1996