13601. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точка X
внутри треугольника ABC
такова, что вписанная окружность треугольника BXC
касается стороны BC
тоже в точке D
, а также касается отрезков CX
и XB
в точках Y
и Z
соответственно. Докажите, что четырёхугольник EFZY
вписанный.
Решение. Пусть прямые FE
и BC
пересекаются в точке P
. По теореме Менелая
\frac{PB}{PC}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{FB}=1,
а так как CE=CD
, EA=AF
и FB=BD
, то
\frac{PB}{PC}\cdot\frac{CD}{BD}=1~\Rightarrow~\frac{BP}{PC}=\frac{BD}{CD}.
Поскольку
XZ=XY,~BZ=BD,~CY=CD,
то
\frac{PB}{PC}\cdot\frac{CY}{YX}\cdot\frac{XZ}{ZB}=\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CD}{YX}\cdot\frac{XY}{BD}=1.
Значит, по теореме Менелая точки P
, Z
и Y
лежат на одной прямой. Тогда по теореме о касательной и секущей
PF\cdot PE=PD^{2}=PZ\cdot PY.
Следовательно (см. задачу 114), точки E
, F
, Z
и Y
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.