13603. Стороны AD
и BC
четырёхугольника ABCD
равны, а сумма углов A
и B
равна 120^{\circ}
. Докажите, что вершины P
, Q
и R
равносторонних треугольников ACP
, DCQ
и DBR
(см. рис.) лежат на одной прямой.
Решение. Пусть O
— точка пересечения прямых AD
и BC
, а l
— прямая, содержащая биссектрису внешнего угла при вершине O
треугольника AOB
. Поскольку
\angle APC=60^{\circ}=\angle AOC,
точки O
, P
, A
, C
лежат на одной окружности, поэтому
\angle POA=\angle PCA=60^{\circ}.
Внешний угол при вершине O
треугольника AOB
равен 120^{\circ}
, поэтому его биссектриса OP
, а значит, и точка P
, лежит на прямой l
. Аналогично, точки Q
и R
прямой l
.
Примечание. Как показывает приведённое решение, условие AD=BC
лишнее.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 4, задача 1, с. 202
Источник: Тайваньские математические олимпиады. — 1994