13606. Точки E
, F
и G
разбивают катет AB
прямоугольного треугольника ABC
на четыре равные части: AE=EF=FG=GB
. Точка D
— середина гипотенузы BC
. Отрезки CE
, CF
и CG
пересекают отрезок AD
в точках P
, Q
и R
соответственно. Найдите отношение PQ:QR
.
Ответ. 7:5
.
Решение. Через точку C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением медианы AD
в точке T
. Обозначим AE=EF=FG=GB=a
. Пусть AT=1
.
Треугольник TDC
равен треугольнику ADB
по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому CT=AB=4a
.
Треугольник ARG
подобен треугольнику TRC
с коэффициентом \frac{AG}{CT}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}
, поэтому AR=\frac{3}{7}AT=\frac{3}{7}
.
Треугольник AQF
подобен треугольнику TQC
с коэффициентом \frac{AF}{CT}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}
, поэтому AR=\frac{1}{3}AT=\frac{1}{3}
.
Треугольник APE
подобен треугольнику TPC
с коэффициентом \frac{AP}{PT}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}
, поэтому AR=\frac{1}{5}AT=\frac{1}{5}
.
Следовательно,
\frac{PQ}{QR}=\frac{AQ-AP}{AR-AQ}=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}{\frac{3}{7}-\frac{1}{3}}=\frac{7}{5}.