1361. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
взяты соответственно точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
так, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке M
. Рассмотрим четырёхугольники AB_{1}MC_{1}
, BC_{1}MA_{1}
и CA_{1}MB_{1}
. Докажите, что:
а) если два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;
б) если два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.
Указание. б) Докажите следующее утверждение.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике XYZT
нет параллельных сторон. Обозначим через E
и F
точки пересечения прямых XY
и TZ
, YZ
и XT
соответственно (точка X
лежит на отрезке YE
, а точка Z
— на отрезке YF
). Для того, чтобы четырёхугольник XYZT
был описанным необходимо и достаточно, чтобы ET+YF=TF+YE
.
Решение. а) Пусть MA_{1}CB_{1}
и MB_{1}AC_{1}
— вписанные четырёхугольники. Тогда
\angle A_{1}MB_{1}=180^{\circ}-\angle ACB,~\angle B_{1}MC_{1}=180^{\circ}-\angle BAC,
поэтому
\angle A_{1}MC_{1}=360^{\circ}-(\angle A_{1}MB_{1}+\angle B_{1}MC_{1})=\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC.
Следовательно, MA_{1}BC_{1}
— вписанный четырёхугольник.
б) Докажем сначала следующее утверждение.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике XYZT
нет параллельных сторон. Обозначим через E
и F
точки пересечения прямых XY
и TZ
, YZ
и XT
соответственно (точка X
лежит на отрезке YE
, а точка Z
— на отрезке YF
). Для того, чтобы четырёхугольник XYZT
был описанным необходимо и достаточно, чтобы
ET+YF=TF+YE.
Необходимость. Дано: XYZT
— описанный четырёхугольник. Пусть касательные к вписанной окружности из точек X
, Y
, Z
, T
, E
и F
равны соответственно x
, y
, z
, t
, e
и f
. Тогда
ET=e-t,~YF=y+f,~TF=f-t,~YE=y+e.
Значит,
ET+YF=e-t+y+f,~TF+YE=f-t+y+e.
Следовательно, ET+YF=TF+YE
.
Достаточность. Пусть выполняется равенство ET+YF=TF+YE
. Тогда
YF-TF=YE-ET.
Докажем, что биссектрисы углов YEZ
, YFX
и XYZ
пересекаются в одной точке. Отсюда будет следовать, что XYZT
— описанный четырёхугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от XY
и ZT
, YZ
и XT
, а также от XY
и YZ
.)
Возьмём на луче EX
такую точку K
, что EK=ET
, а на луче FZ
— такую точку S
, что FS=FT
. Поскольку
YK=YE-EK=YE-ET,~YS=YF-SF=YF-TF,
то из условия следует, что YK=YS
.
Рассмотрим треугольник KTS
. Серединный перпендикуляр к стороне KT
этого треугольника является биссектрисой угла KET
(или угла YEZ
). Это следует из равнобедренности треугольника KET
. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне ST
есть биссектриса угла SFT
(или угла YFX
), а серединный перпендикуляр к стороне SK
— биссектриса угла KYS
(или угла XYZ
).
Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника KTS
. Утверждение полностью доказано.
Пусть теперь MA_{1}CB_{1}
и MB_{1}AC_{1}
— описанные четырёхугольники. Тогда
AM+BC=BM+AC,~CM+AB=BM+AC,
поэтому
AM+BC=CM+AB.
Следовательно, MA_{1}BC_{1}
— описанный четырёхугольник.