13610. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы BD
и CE
. Оказалось, что \angle BDE=30^{\circ}
. Найдите ещё один угол этого треугольника.
Ответ. \angle A=60^{\circ}
или \angle C=120^{\circ}
.
Решение. Пусть F
— точка, симметричная точке E
относительно прямой BD
. Тогда точка F
лежит на луче BC
, DF=DE
и
\angle BDF=\angle BDE=30^{\circ}.
Тогда \angle EDF=60^{\circ}
, и треугольник EDF
равносторонний. Значит, EF=ED
.
По теореме синусов из треугольников EFC
и EDC
получаем
\frac{EC}{\sin\angle EFC}=\frac{EF}{\sin\angle ECF}=\frac{ED}{\sin\angle ECD}=\frac{EC}{\sin\angle EFC}.
Тогда \angle EFC=\angle EDC
или \angle EFC+\angle EDC=180^{\circ}
.
Пусть \angle EFC=\angle EDC
. Тогда
\angle FEC=\angle DEC=\frac{1}{2}\angle FED=30^{\circ}.
Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DIC=\angle IED+\angle IDE=30^{\circ}+30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ},
а так как
\angle DIC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A
(см. задачу 4770), то \angle A=60^{\circ}
.
Пусть теперь \angle EFC+\angle EDC=180^{\circ}
. Тогда
\angle FED+\angle FCD=180^{\circ},~\mbox{или}~60^{\circ}+\angle FCD=180^{\circ},
откуда \angle FCD=120^{\circ}
. Следовательно, \angle ACB=120^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 7, задача 2263 (1997, с. 364), с. 432