13611. На стороне BC
квадрата ABCD
вне квадрата построен остроугольный треугольник ABC
; AD
— его высота, H
— ортоцентр. Прямые AK
и CD
пересекаются в точке P
. Докажите, что \frac{HP}{PD}=\frac{AB}{CD}
.
Решение. Вне треугольника ABC
построим квадрат ABMN
. Пусть прямые AK
и BC
пересекаются в точке X
, а прямые AB
и CM
— в точке Y
.
При повороте вокруг точки B
на 90^{\circ}
, переводящем точку M
в A
, точка C
переходит в K
, а прямая MC
— в прямую AK
. Значит, AK\perp MC
, а так как AP\perp CD
и CP\perp AB
, то P
— ортоцентр треугольника ACD
. Тогда YP\perp AC
, и поэтому YP\parallel BH
. Кроме того, BM\parallel CD
, значит,
\frac{HP}{PD}=\frac{BY}{YD}=\frac{BM}{CD}=\frac{AB}{CD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 7, задача 2266 (1997, с. 364), с. 434